arXiv:2410.16561v4 Announce Type: replace-cross 
Abstract: Gradient clipping has long been considered essential for ensuring the convergence of Stochastic Gradient Descent (SGD) in the presence of heavy-tailed gradient noise. In this paper, we revisit this belief and explore whether gradient normalization can serve as an effective alternative or complement. We prove that, under individual smoothness assumptions, gradient normalization alone is sufficient to guarantee convergence of the nonconvex SGD. Moreover, when combined with clipping, it yields far better rates of convergence under more challenging noise distributions. We provide a unifying theory describing normalization-only, clipping-only, and combined approaches. Moving forward, we investigate existing variance-reduced algorithms, establishing that, in such a setting, normalization alone is sufficient for convergence. Finally, we present an accelerated variant that under second-order smoothness improves convergence. Our results provide theoretical insights and practical guidance for using normalization and clipping in nonconvex optimization with heavy-tailed noise.

تستعرض الورقة دور تقليم التدرج في الانحدار العشوائي للتدرج (SGD) تحت الضوضاء ذات الذيل الثقيل، مشيرة إلى أن تطبيع التدرج يمكن أن يكون بديلاً كافيًا لضمان التقارب في التحسين غير المحدب. يثبت المؤلفون أن التطبيع وحده يضمن التقارب تحت شروط نعومة معينة، وعندما يتم دمجه مع التقليم، فإنه يعزز بشكل كبير معدلات التقارب. كما تم تقديم نسخة مسرعة تحسن التقارب تحت نعومة من الدرجة الثانية.

El artículo revisita el papel del recorte de gradiente en el Descenso de Gradiente Estocástico (SGD) bajo ruido de cola pesada, sugiriendo que la normalización de gradiente puede ser una alternativa suficiente para garantizar la convergencia en la optimización no convexa. Los autores demuestran que la normalización por sí sola garantiza la convergencia bajo condiciones de suavidad específicas y, cuando se combina con el recorte, mejora significativamente las tasas de convergencia. También se presenta una variante acelerada que mejora la convergencia bajo suavidad de segundo orden.

Cet article réexamine le rôle du clipping de gradient dans la descente de gradient stochastique (SGD) sous bruit à queue lourde, suggérant que la normalisation de gradient peut être une alternative suffisante pour garantir la convergence dans l'optimisation non convexe. Les auteurs démontrent que la normalisation seule garantit la convergence sous des conditions de douceur spécifiques et, lorsqu'elle est combinée avec le clipping, améliore considérablement les taux de convergence. Une variante accélérée est également introduite, améliorant la convergence sous une douceur de second ordre.

The paper revisits the role of gradient clipping in Stochastic Gradient Descent (SGD) under heavy-tailed noise, suggesting that gradient normalization can be a sufficient alternative for ensuring convergence in nonconvex optimization. The authors demonstrate that normalization alone guarantees convergence under specific smoothness conditions and, when combined with clipping, significantly enhances convergence rates. An accelerated variant is also introduced, improving convergence under second-order smoothness.

Revisiting Gradient Normalization and Clipping for Nonconvex SGD under Heavy-Tailed Noise: Necessity, Sufficiency, and Acceleration

arXiv:2601.08512v1 Announce Type: new 
Abstract: The distinction between conditional, unconditional, and absolute convergence in infinite-dimensional spaces has fundamental implications for computational algorithms. While these concepts coincide in finite dimensions, the Dvoretzky-Rogers theorem establishes their strict separation in general Banach spaces. We present a comprehensive characterization theorem unifying seven equivalent conditions for unconditional convergence: permutation invariance, net convergence, subseries tests, sign stability, bounded multiplier properties, and weak uniform convergence. These theoretical results directly inform algorithmic stability analysis, governing permutation invariance in gradient accumulation for Stochastic Gradient Descent and justifying coefficient thresholding in frame-based signal processing. Our work bridges classical functional analysis with contemporary computational practice, providing rigorous foundations for order-independent and numerically robust summation processes.

قدمت دراسة حديثة تصنيفًا شاملاً للتقارب غير المشروط في فضاءات باناش، مع تسليط الضوء على التمييز بين التقارب الشرطي وغير الشرطي والمطلق في الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية. يعتمد هذا العمل على نظرية ديفوريتسكي-روجرز ويقدم سبع شروط مكافئة للتقارب غير المشروط، والتي تعتبر حاسمة لفهم استقرار الخوارزميات في الخوارزميات الحاسوبية.

Un estudio reciente ha proporcionado una caracterización completa de la convergencia incondicional en espacios de Banach, destacando la distinción entre convergencia condicional, incondicional y absoluta en espacios de dimensiones infinitas. Este trabajo se basa en el teorema de Dvoretzky-Rogers y presenta siete condiciones equivalentes para la convergencia incondicional, que son cruciales para entender la estabilidad algorítmica en algoritmos computacionales.

Une étude récente a fourni une caractérisation complète de la convergence inconditionnelle dans les espaces de Banach, soulignant la distinction entre convergence conditionnelle, inconditionnelle et absolue dans des espaces de dimensions infinies. Ce travail s'appuie sur le théorème de Dvoretzky-Rogers et présente sept conditions équivalentes pour la convergence inconditionnelle, qui sont cruciales pour comprendre la stabilité algorithmique dans les algorithmes computationnels.

A recent study has provided a comprehensive characterization of unconditional convergence in Banach spaces, highlighting the distinction between conditional, unconditional, and absolute convergence in infinite-dimensional spaces. This work builds on the Dvoretzky-Rogers theorem and presents seven equivalent conditions for unconditional convergence, which are crucial for understanding algorithmic stability in computational algorithms.

Revisiting Gradient Normalization and Clipping for Nonconvex SGD under Heavy-Tailed Noise: Necessity, Sufficiency, and Acceleration

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